Cho tứ diện ABCD có AD\(\perp\)(ABC),độ dài các cạnh BC,AC,AB,AD lần lượt là a,b,c,d đáy ABC thỏa mãn điều kiện \(\dfrac{cotA+cotB+cotC}{2}=\dfrac{BC}{AB.AC}+\dfrac{CA}{BC.BA}+\dfrac{AB}{CA.CB}\).Tính thể tích V của tứ diện ABCD theo a,b,c,d
Cho tứ diện ABCD có A D ⊥ ( A B C ) , đáy ABC thỏa mãn điều kiện:
cot A + cot B + cot C 2 = B C A B . A C + C A B A . B C + A B C A . C B .
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BD và BC. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp khói chóp A.BCHK
A. V = 4 π 3 .
B. V = 32 π 3 .
C. V = 8 π 3 .
D. V = 4 π 3 3 .
Đáp án B.
*Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCHK
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AC và AB. Trong mặt phẳng (ABC), kẻ các đường thẳng d, d’ lần lượt vuông góc với AC và AB tại E, F. Do D A ⊥ d , D A ⊥ d ' (do D A ⊥ A B C ) nên d ⊥ D A C , d ' ⊥ D A B . Gọi I là giao điểm của d, d’ thì I chính là tâm của mặt cầu chứa hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác AHC, AKC. Hay nói cách khác, I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCHK, bán kính R = IA cũng chính là bán kính đường tròn ngoại tiếp Δ A B C (do IA = IB = IC).
*Một số hệ thức cần nhớ trong tam giác
Cho Δ A B C , gọi AH là đường cao H ∈ B C . R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giac, p là nửa chu vi. Kí hiệu BC = a, AC = b, AB = c, diện tích S Δ A B C = S .
1. Định lý cosin:
a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos A ; b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos B ; c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos C .
2. Định lý sin: a sin A = b sin B = c sin C = 2 R .
3. Độ dài trung tuyến xuất phát từ các đỉnh A, B, C (Kí hiệu lần lượt là m a , m b , m c ):
m a 2 = b 2 + c 2 2 − a 2 4 ; m b 2 = a 2 + c 2 2 − b 2 4 ; m c 2 = a 2 + b 2 2 − c 2 4 .4. Các công thức tính diện tích tam giác:
S = 1 2 a . h a = 1 2 b . h b = 1 2 c . h c S = 1 2 b c sin A = 1 2 a c sin B = 1 2 a b sin C S = a b c 4 R = p r = p p − a p − b p − c .5. Định lý tang:
a − b a + b = tan A − B 2 tan A + B 2 ; b − c b + c = tan B − C 2 tan B + C 2 ; c − a c + a = tan C − A 2 tan C + A 2 .
6. Định lý cotang:
cot A = b 2 + c 2 − a 2 4 S ; cot B = a 2 + c 2 − b 2 4 S ; cot C = a 2 + b 2 − c 2 4 S . → cot A + cot B + cot C = a 2 + b 2 + c 2 4 S .
*Phân tích dữ kiện đề bài:
cot A + cot B + cot C 2 = B C A B . A C + C A B A . B C + A B C A . C B ⇔ A B 2 + B C 2 + C A 2 8 S Δ A B C = B C 2 + C A 2 + A B 2 A B . A C . B C ⇔ 8 S Δ A B C = A B . A C . B C ⇔ 8. A B . A C . B C 4 R = A B . A C . B C ⇔ R = 2 = I A .
Vậy thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCHK là:
V = 4 3 π R 3 = 4 3 π 2 3 = 32 π 3 (đvtt).
Cho tam giác ABC có diện tích là S. BC = a, AC = b, AB = c. G là trọng tâm tam giác. Chứng minh rằng:
a/ \(cotA=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{4S}\)
b/ \(cotA+cotB+cotC=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4S}\)
c/ \(GA^2+GB^2+GC^2=\dfrac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
d/ \(b^2-c^2=a\left(b.cosC-c.cosB\right)\)
a)Có \(b^2+c^2-a^2=cosA.2bc\)
\(S=\dfrac{1}{2}bc.sinA\)\(\Rightarrow4S=2bc.sinA\)
\(\Rightarrow\dfrac{b^2+c^2-a^2}{4S}=\dfrac{cosA.2bc}{2bc.sinA}=cotA\) (dpcm)
b) CM tương tự câu a \(\Rightarrow\dfrac{a^2+c^2-b^2}{4S}=\dfrac{cosB.2ac}{2ac.sinB}=cotB\); \(\dfrac{a^2+b^2-c^2}{4S}=\dfrac{cosC.2ab}{2ab.sinC}=cotC\)
Cộng vế với vế \(\Rightarrow cotA+cotB+cotC=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{4S}+\dfrac{a^2+c^2-b^2}{4S}+\dfrac{a^2+b^2-c^2}{4S}\)\(=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4S}\) (dpcm)
c) Gọi ma;mb;mc là độ dài các đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A;B;C của tam giác ABC
Có \(GA^2+GB^2+GC^2=\dfrac{4}{9}\left(m_a^2+m_b^2+m_b^2\right)\)\(=\dfrac{4}{9}\left[\dfrac{2\left(b^2+c^2\right)-a^2}{4}+\dfrac{2\left(a^2+c^2\right)-b^2}{4}+\dfrac{2\left(b^2+c^2\right)-a^2}{4}\right]\)
\(=\dfrac{4}{9}.\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{4}=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\) (đpcm)
d) Có \(a\left(b.cosC-c.cosB\right)=ab.cosC-ac.cosB\)
\(=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2}-\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2}\)
\(=b^2-c^2\) (dpcm)
Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với (ABC), đáy ABC thỏa mãn điều kiện: cot A + cot B + cot C 2 = B C A B . A C + C A B A . B C + A B C A . C B . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BD và BC. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp khói chóp A.BCHK
A. V = 4 π 3 .
B. V = 32 π 3 .
C. V = 8 π 3 .
D. V = 4 π 3 3 .
Cho tứ diện ABCD đáy ΔABC cân, DA \(\perp\) đáy, AB=AC=a, BC = \(\dfrac{6}{5}\)a. M là trung điểm BC. Vẽ AH \(\perp\)MD. (H thuặc đường thẳng MD)
a) C/M AH \(\perp\) (BCD)
b, Cho AD = \(\dfrac{4}{3}\)a. Tính (\(\widehat{AC,DM}\))
c, Gọi G1, G2 lần lượt là các trọng tâm của tam giác ABC và tam giác DBC. CM: G1G2 \(\perp\)(ABC)
a: ΔABC cân tại A
mà AM là trung tuyến
nên AM vuông góc BC
mà DA vuông góc (ABC)
nên BC vuông góc (DAM)
=>CB vuông góc AH
mà DM vuông góc AH
nên AH vuông góc (DBC)
b: Kẻ MN//AC(N thuộc AB)
=>(DM;AC)=(DM;MN)=góc DMN hoặc =180 độ-góc DMN
MN=1/2AC=a/2; AN=a/2
DN^2=DA^2+AN^2=89/100a^2
=>AM^2=AB^2-MA^2=a^2-9/25a^2=16/25a^2
=>AM=4/5a
AD=4/5a
=>\(DM=\dfrac{4a\sqrt{2}}{5}\)
DN^2=DM^2+MN^2-2*DM*MN*cosDMN
=>\(\cos DMN=\dfrac{2\sqrt{2}}{5}\)
=>\(\left(AC;DM\right)\simeq56^0\)
c: G1G2//DA
mà DA vuông góc (ABC)
nên G1G2 vuông góc (ABC)
Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB, BC, CD lâý lần lượt các điểm D, , F sao cho AD = \(\dfrac{1}{4}\)AB, BE = \(\dfrac{1}{4}\)BC, CF = \(\dfrac{1}{4}\)CA. Tính diện tích tam giác DÈF, biết rằng diện tích tam giác ABC bằng a^2
Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a, b, c thỏa mãn: \(\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{bc}{c+a}+\dfrac{ac}{a+b}=\dfrac{ac}{b+c}+\dfrac{ab}{c+a}+\dfrac{bc}{a+b}\). Chứng minh: Tam giác ABC cân
Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a, b, c thỏa mãn: \(\dfrac{ab}{b+c}+\dfrac{bc}{a+c}+\dfrac{ac}{a+b}=\dfrac{ac}{b+c}+\dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{bc}{a+b}\). Chứng minh tam giác ABC cân
\(\Leftrightarrow ab\left(\dfrac{1}{b+c}-\dfrac{1}{a+c}\right)+bc\left(\dfrac{1}{a+c}-\dfrac{1}{a+b}\right)+ca\left(\dfrac{1}{a+b}-\dfrac{1}{b+c}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{ab\left(a-b\right)}{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{bc\left(b-c\right)}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{ca\left(c-a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{ab\left(a^2-b^2\right)+bc\left(b^2-c^2\right)+ca\left(c^2-a^2\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)\left(a+b+c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b\\b=c\\c=a\end{matrix}\right.\) hay tam giác cân
Cho tam giác ABC, độ dài 3 cạnh tam giác lần lượt là a,b,c. Gọi G là trọng tâm và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp.
a. \(GA^2+GB^2+GC^2=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\)
b. \(cotA+cotB+cotC=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4S}\)
a, 3 đường trung tuyến cách nhau tại trọng tâm, khoảng cách từ trọng tâm đến đỉnh bằng \(\dfrac{2}{3}\) độ dài trung tuyến đi qua đỉnh đó
Từ định lí trên ta có \(\left\{{}\begin{matrix}m_a=\dfrac{2}{3}GA\\m_b=\dfrac{2}{3}GB\\m_c=\dfrac{2}{3}GC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m_a^2=\dfrac{4}{9}GA^2\\m_b^2=\dfrac{4}{9}GB^2\\m_c^2=\dfrac{4}{9}GB^2\end{matrix}\right.\)
Đặt D = GA2 + GB2 + GC2
⇒ D = ma2 + mb2 + mc2
⇒ D = \(\dfrac{2\left(a^2+b^2\right)-c^2+2\left(b^2+c^2\right)-a^2+2\left(a^2+c^2\right)-b^2}{4}\)
⇒ D = \(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\)
b, cotA = \(\dfrac{cosA}{sinA}=\dfrac{\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}{\dfrac{a}{2R}}=R.\dfrac{b^2+c^2-a^2}{abc}\)
Tương tự ta có
cotB = \(R.\dfrac{a^2+c^2-b^2}{abc}\)
cotC = \(R.\dfrac{a^2+b^2-c^2}{abc}\)
Vậy cotA + cotB + cotC = \(R.\dfrac{a^2+b^2+c^2}{abc}\) (1)
Theo công thức tính diện tích
S = \(\dfrac{abc}{4R}\) ⇒ abc = 4 . S . R
Thế vào (1) ta có
cotA + cotB + cotC = \(R.\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4.S.R}=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4S}\)
a, \(\overrightarrow{GA}=-\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)
\(\Rightarrow GA^2=\dfrac{1}{9}\left(AB^2+AC^2+2AB.AC.cosA\right)\)
\(=\dfrac{1}{9}\left(c^2+b^2+2bc.cosA\right)\)
\(=\dfrac{1}{9}\left(c^2+b^2+b^2+c^2-a^2\right)=\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{9}\)
Tương tự \(GB^2=\dfrac{2a^2+2c^2-b^2}{9}\); \(GC^2=\dfrac{2a^2+2b^2-c^2}{9}\)
\(\Rightarrow GA^2+GB^2+GC^2=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\)
b, \(cotA+cotB+cotC=\dfrac{cosA}{sinA}+\dfrac{cosB}{sinB}+\dfrac{cosC}{sinC}\)
\(=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bcsinA}+\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2acsinB}+\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2absinC}\)
\(=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bcsinA}+\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac.\dfrac{b}{a}sinA}+\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab.\dfrac{c}{a}sinA}\)
\(=\dfrac{a}{2sinA}\left(\dfrac{b^2+c^2-a^2}{abc}+\dfrac{a^2+c^2-b^2}{abc}+\dfrac{a^2+b^2-c^2}{abc}\right)\)
\(=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2bcsinA}=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4.S}\)
Cho \(\Delta ABC\) CMR:\(cotA+cotB+cotC=\dfrac{AB^2+AC^2+BC^2}{4S}\)( với S là diện tích tam giác ABC